До появления нашей позиционной нумерации одной из наиболее известных систем была римская — ее по-прежнему используют для нумерации столетий. Хотя римские цифры выглядят странновато, эта система относится к простым. Математики называют ее аддитивной, и это означает, что цифры, стоящие рядом, нужно складывать. Положение каждого символа не влияет на его значение. Вертикальная палочка (I) = 1, две вертикальные палочки (II) = 2, а три вертикальные палочки (III) = 3. Если палочек станет чересчур много, легко запутаться, поэтому римляне ввели следующие символы: V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, а M = 1000. Так же как и при подсчете единиц, можно подсчитать количество десяток, сотен и тысяч. Значит, XXX = 30, а MMM = 3000. И все же римляне придумали одну хитрость. Чтобы сократить количество символов, они составили правило, позволяющее вычитать меньшее число из большего, если меньшее находится перед большим. Поэтому число 4 обозначается как IV (5 ‒ 1), а число 9 — как IX (10 ‒ 1). Получается, что XIV значит 14 (10 + 5 ‒ 1), а XXXIV — 34 (10 + 10 + 10 + 5 ‒ 1). Если человек родился в 1973 г., то его год рождения можно записать так: MCMLXXIII (1000 + 1000 ‒ 100 + 50 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1). Как мы видим, для вычислений эта система не особенно удобна. Попробуйте-ка умножить XIX на VIII. Ну и как успехи? Зато складывать римские цифры немного проще. Давайте сложим CCCLII и CCXIII. Сначала надо сгруппировать все одинаковые символы. Получится CCCCCLXIIIII. А теперь чуть-чуть упростим. CCCCC = D, а IIIII = V. Значит, CCCLII + CCXIII = DLXV. Используя правила сложения, римляне не учитывали правило, согласно которому меньшее число перед большим предполагало вычитание. Чтобы правило срабатывало, такие числа, как 9, приходилось записывать не как IX, а как VIIII. ### Майянская система счисления Начало простое: одна точка обозначает 1, две точки — 2, а четыре — 4. Число 5 обозначается горизонтальной чертой. Пока все просто и легко. Далее точки располагаются над чертой: 6 представляет собой черту с точкой над ней (5 + 1), а 7 — черту с двумя точками (5 + 2). Число 10 представляет собой две горизонтальные линии, расположенные друг над другом (5 + 5). 15 — три горизонтальные линии (5 + 5 + 5), а 19 — четыре точки над тремя горизонтальными линиями (5 + 5 + 5 + 4). А вот отсюда начинается веселье! Числа от 20 записываются в два ряда. В верхнем ряду подсчитывается количество двадцаток, а в нижнем — количество единиц. Чтобы написать число 20, поставьте точку в верхнем ряду (это будет означать 1 × 20). Нижняя линия обводится так, чтобы получился майянский символ нуля (он похож на эллипс или на мяч для американского футбола). Что ж, продолжим. 25 выглядит как точка сверху, что означает 1 × 20, и горизонтальная линия снизу, которая, как мы помним, означает 5. Число 59 записывается как две точки сверху (2 × 20 = 40) и четыре точки снизу над тремя горизонтальными линями (3 × 5 + 4 = 19). Как может заметить наблюдательный читатель, 40 плюс 19 равно 59. Число 305 записывается тремя расположенными друг над другом линиями в верхнем ряду, потому что каждая из линий — это 5, а значит, в сумме они составляют 15. Так как находятся они сверху, нам надо умножить 15 на 20 — так мы получим 300. В нижнем ряду нам надо нарисовать линию, которая соответствует числу 5. В сумме мы получаем 305. Сейчас все будет еще веселее! Числа больше 400 записываются в три ряда! Допустим, нам надо записать 861. В нижнем ряду ставим точку, которая обозначает единицу. В среднем ряду (там, где у нас двадцатки) ставим три точки, что значит 3 × 20 = 60. В верхнем ряду ставим две точки, и это значит 2 × 20 × 20 = 800. Поняли принцип? С каждым рядом число увеличивается в 20 раз. ### Математика древнего Египта Для умножения египтяне записывали числа в две колонки. В первой колонке числа начинаются с единицы и удваиваются до тех пор, пока число не приблизится к одному из умножаемых чисел. Во второй колонке записывается второй множитель, который затем с каждой строчкой удваивается. Допустим, нам надо умножить 38 на 17. |1|2| |--|--| |1|17| |2|34| |4|68| |8|136| |16|272| |32|544| Следующий шаг — найти в левой колонке числа, которые в сумме дают 38. 32 + 4 + 2 = 38 Теперь надо сложить числа в правой колонке напротив чисел 32, 4 и 2. 544 + 68 + 34 = 646 Допустим, нам надо разделить 646 на 17. Действовать будем так же, как и при умножении. В левой колонке начнем с 1 и будем удваивать числа. Во второй колонке начнем с 17 и будем удваивать числа, пока почти не доберемся до 646. Теперь в правой колонке отыщем числа, сумма которых составляет 646. Это 544 + 68 + 34. Далее посмотрим, какие числа в левой колонке стоят напротив этих трех чисел, и сложим их. Вот что получится: 32 + 4 + 2 = 38.