Умножить 105 на 112.
Первым делом необходимо решить, какое референтное число мы будем использовать для вычислений. Выбирать стоит такое референтное число, на которое легко умножать и которое находится близко к исходным. В данном случае естественнее всего выбрать 100: на 100 очень легко умножать. Запишите референтное число в скобках после примера:
105 × 112 (100)
Теперь приступим непосредственно к вычислениям.
Сосчитаем разницу значений референтного числа и каждого из исходных чисел. 105 ‒ 100 = 5 и 112 ‒ 100 = 12
|1|2|
|--|--|
|105|5|
|112|12|
Сложите первое число из первой строки и второе число из второй строки. Или наоборот. На ваше усмотрение.
Иными словами, прибавьте 12 к 105 или 5 к 112.
Выберите тот вариант, который вам нравится больше. Ответ в любом случае будет один и тот же: 117.
Ответ необходимо умножить на референтное число — в данном случае на 100:
117 × 100 = 11700
Перемножьте показатели разницы значений между собой:
5 × 12 = 60
Сложите результаты промежуточных вычислений:
11700 + 60 = 11760
Если записать все вычисления в одну строку, то выглядеть это будет так:
105 × 112 = (105 + 12 или 112 + 5) × 100 + 5 × 12 = 11760
2. Умножить 94 на 97.
Сначала выберем референтное число. Проще всего снова взять 100, поскольку обоим числам не хватает до 100 совсем немного и поскольку на 100 легко умножать. Запишите референтное число в скобах после примера:
94 × 97 (100)
Посчитайте разницу значений между 100 и каждым из чисел:
94 ‒ 100 = ‒6 и 97 ‒ 100 = ‒3
|1|2|
|--|--|
|94|-6|
|97|-3|
Обратите внимание, что на этот раз, в отличие от метода из главы 5, вы имеете дело с отрицательными показателями разницы значений. Благодаря этому описываемый метод подходит для любых вычислений независимо от того, какие числа используются в уравнении — больше или меньше 100.
Как и в предыдущем примере, к каждому из исходных чисел надо прибавить свои показатели разницы значений.
94 + (‒3) или 97 + (‒6)
На каком бы варианте мы ни остановились, ответ будет 91.
Умножим полученный ответ на 100:
91 × 100 = 9100
Осталась буквально пара шагов.
Перемножьте показатели разницы значений:
(‒6) × (‒3) = 18
Сложите результаты промежуточных вычислений:
9100 + 18 = 9118
3. умножим 104 на 97.
Как видите, одно из этих чисел больше 100, а другое меньше. Метод подойдет и для такого случая. Сначала, как обычно, определитесь с референтным числом. 100 снова подойдет лучше всего. Запишите референтное число в скобках после примера:
104 × 97 (100)
Вычислите разницу значений:
104 ‒ 100 = 4 и 97 ‒ 100 = ‒3
### КОГДА РЕФЕРЕНТНОЕ ЧИСЛО — 10
умножить 12 на 17. На числовой шкале и 12, и 17 далеко отстоят
от 100. Чтобы упростить себе жизнь, по крайней мере на время решения этой задачки, в качестве референтного числа лучше выбрать 10. Смысл ведь в том, чтобы, с одной стороны, на него было легко умножать, а с другой — чтобы разница значений между референтным числом и числами из примера была минимальной. Сначала, как и при решении других примеров из этой главы, надо как раз вычислить разницу значений между референтным числом и числами из примера.
|1|2|
|--|--|
|12|2|
|17|7|
Все вычисления могут быть записаны в одну строку:
12 × 17 = (12 + 7 или 17 + 2) × 10 + 2 × 7 = 204
### КОГДА РЕФЕРЕНТНОЕ ЧИСЛО — 20
Если вы хотите умножить 22 на 27, то в качестве референтного числа лучше всего выбрать 20.
Запишите разницу значений
|1|2|
|--|--|
|22|2|
|27|7|
Сложите числа крест-накрест. Независимо от того, сложите вы 22 и 7 или 27 и 2, ответ будет 29.
Умножьте его на выбранное референтное число:
29 × 20 = 580
Чтобы умножить число на 20, проще всего сначала его удвоить, а потом умножить на 10:
29 × 20 = 29 × 2 × 10 = 580
Умножьте показатели разницы значений друг на друга:
2 × 7 = 14
Сложите результаты промежуточных вычислений — и финальный ответ будет у вас в руках.
22 × 27 = 580 + 14 = 594
### КОГДА РЕФЕРЕНТНОЕ ЧИСЛО — 50
Как уже говорилось ранее, наша задача — выбрать такое референтное число, чтобы разница между ним и исходными числами была минимальной. Допустим, вы хотите умножить 43 на 59. Тогда в качестве референтного числа лучше всего выбрать 50.
Действовать будем по тому же алгоритму, что и раньше. Сложите либо 43 и 9, либо 59 и ‒7. Ответ в любом случае один — 52.
Умножьте 52 на выбранное референтное число: 52 × 50.
Чтобы умножить число на 50, проще всего сначала умножить его на 100, а затем разделить на 2.
52 × 50 = 52 × 100 / 2 = 5200 / 2 = 2600
Умножьте показатели разницы значений друг на друга:
(‒7) × 9 = ‒63
Сложите результаты промежуточных вычислений:
2600 + (‒63) = 2537
Вот и все!
43 × 59 = 2537
Вычисления легко записать в одну строку:
43 × 59 = (59 + (‒7)) × 50 + (‒7) × 9 = 52 × 50 + (‒7) × 9 = 2600 + (‒63) = 2537
### КОГДА РЕФЕРЕНТНОЕ ЧИСЛО — 200
Предположим, вы хотите умножить 212 на 206. Тогда для решения примера в качестве референтного числа лучше всего подойдет 200.
Сложите либо 212 и 6, либо 206 и 12. Ответ будет 218.
Умножьте 218 на выбранное референтное число: 218 × 200.
Хоть необходимость умножать на 200 и выглядит пугающе сложной, своя хитрость есть и
здесь. Сначала удвойте исходное число, а затем умножьте его на 100:
218 × 200 = 218 × 2 × 100 = 436 × 100 = 43600
Перемножьте показатели разницы значений между собой:
12 × 6 = 72
Сложите результаты промежуточных вычислений:
43600 + 72 = 43672
Значит, 212 × 206 = 43672.
А вот все вычисления сразу:
212 × 206 = (206 + 12) × 200 + 12 × 6 = 218 × 200 + 72 = 43600 + 72 = 43672
### КОГДА РЕФЕРЕНТНОЕ ЧИСЛО — 500
вам предстоит умножить 488 на 506.
Сложите 488 и 6 или 506 и ‒12. В любом случае получится 494.
Умножьте 494 на выбранное референтное число, то есть на 500.
Чтобы умножить число на 500, можно сначала умножить его на 1000, а потом разделить на 2.
494 × 500 = 494 × 1000 / 2 = 494000 / 2 = 247000
Умножьте показатели разницы значений друг на друга:
(‒12) × 6 = (‒72)
Сложите результаты промежуточных вычислений:
247000 + (‒72) = 246928
Никаких других операций не требуется:
488 × 506 = 246928
## КУЛЬМИНАЦИЯ
В рассмотренных ранее примерах обоим исходным числам подходило
одно и то же референтное число. Однако если разница значений слишком велика, то умножать ее показатели тоже непросто. Для этого
потребуется два разных референтных числа. Надо только выбрать такие числа, с которыми можно проводить простые математические вычисления — иначе игра не будет стоить свеч.
умножить 105 на 412.
В пару к 105 выберем 100, а в пару к 412 — 400.
Сначала необходимо рассчитать соотношение референтных чисел. 400 / 100 = 4. Назовем результат этой операции дополнительным референтным числом.
|1|2|3|
|--|--|--|
|105|5|-|
|412|12|4 * 100|
Запишите первое референтное число и дополнительное в круглых скобках:
105 × 412 (100 × 4)
Вычислите разницу значений между исходными числами и их референтами:
105 ‒ 100 = 5 и 412 ‒ 400 = 12
Умножьте первый показатель разницы значений на дополнительное референтное число:
5 × 4 = 20
Прибавьте результат ко второму исходному числу:
20 + 412 = 432
Полученный ответ надо умножить на первое референтное число, в данном случае на 100.
432 × 100 = 43200
Теперь продолжим делать то же, что и раньше. Перемножьте показатели разницы значений
между собой:
5 × 12 = 60
Наконец сложите результаты промежуточных вычислений:
43200 + 60 = 43260
Выходит, 105 × 412 = 43260.
Решение может быть записано в одну строку.
105 × 412 = (412 + 5 × 4) × 100 + 5 × 12 = 432 × 100 + 60 = 43260
2. еще один пример и умножим 212 на 808.
Выберите референтное число для каждого из чисел. В данном случае удобнее всего выбрать 200 и 800. Вычислите дополнительное референтное число: 800 / 200 = 4.
Умножьте первый показатель разницы значений и дополнительное референтное число, а потом прибавьте результат ко второму исходному числу: 808 + 12 × 4 = 808 + 48 = 856
Вы же помните, как умножать на 200? Сначала надо умножить на 2, а затем на 100.
856 × 200 = 856 × 2 × 100 = 1712 × 100 = 171200
Перемножьте показатели разницы значений:
12 × 8 = 96
Сложите результаты промежуточных вычислений:
171200 + 96 = 171296
Итак, 212 × 808 = 171296
Пара небольших хитростей — и со сложным примером становится
приятно иметь дело.
212 × 808 = (808 + 12 × 4) × 200 + 12 × 8 = 856 × 200 + 96 = 171200 + 96 = 171296
Техника, конечно, будет работать независимо от того, в каком порядке вы расположите числа
в исходном примере. Но значение их порядок все-таки имеет. Если вы поменяете их местами,
то провести вычисления так уж быстро не выйдет: умножать на 800 гораздо труднее, чем на
200.
Тем не менее поменяем их местами и посмотрим, что произойдет, если справа от примера
окажется 800. Поскольку референтное число для 212 — 200, то начнем со следующего: 200 /800 = ¼.
Умножьте первый показатель разницы значений на дополнительное референтное число и прибавьте результат ко второму исходному числу: 212 + 8 × ¼ = 214.
Умножьте 214 на первое референтное число, то есть на 800:
214 × 800 = 171200
Умножьте показатели разницы значений друг на друга:
8 × 12 = 96
Сложите результаты промежуточных вычислений:
171200 + 96 = 171296
Все вычисления легко умещаются в одну строку:
(212 + 8 × ¼) × 800 + 8 × 12
3. Умножим 504 на 125.
Большинство наверняка бы выбрало в качестве референтных чисел 500 и 100, но в данном случае я советую остановиться на 500 и 125, потому что их легко делить друг на друга. Таким образом, дополнительным референтным числом будет ¼.
(125 + 4 × ¼) × 500 + 4 × 0 = 126 × 500 + 0 = 126000 / 2 = 63000
4. Умножьте 23 и 97.
На этот раз в качестве первых двух референтных чисел лучше всего выбрать 20 и 100.
Дополнительным референтным числом тогда будет 100 / 20 = 5.
Все вычисления можно расположить в одну строчку:
23 × 97 = (97 + 3 × 5) × 20 + 3 × (‒3) = (97 + 15) × 20 + (‒9) = 112 × 20 ‒ 9 = 2240 ‒ 9 = 2231
**алгоритм**
1. Выберите первые два референтных числа и вычислите дополнительное.
2. Посчитайте разницу значений между исходными числами и референтными.
3. Умножьте первый показатель разницы значений на дополнительное референтное число и прибавьте результат ко второму исходному числу. Умножьте полученный ответ на первое референтное число. Так вы получите результат первого промежуточного вычисления.
4. Перемножьте показатели разницы значений между собой. Так вы получите результат второго промежуточного вычисления.
5. Сложите результаты промежуточных вычислений. Вот вы и пришли к ответу.
Умножьте 8 на 136:
В результате получится:
(136 + (‒2) × 14) × 10 + (‒2) × (‒4) = (136 ‒ 28) × 10 + 8 = 108 × 10 + 8 = 1080 + 8 = 1088
Умножьте 9 на 152:
(152 + (‒1) × 15) × 10 + (‒1) × 2 = (152 ‒ 15) × 10 ‒ 2 = 1370 ‒ 2 = 1368
Умножьте 305 на 306:
(306 + 5 × 1) × 300 + 5 × 6
305 × 306 = (306 + 5 × 1) × 300 + 5 × 6 = 311 × 300 + 30 = 93300 + 30 = 93330
умножьте 192 на 389
192 × 389 = (389 + (‒8) × 2) × 200 + (‒8) × (‒11) = (389 ‒ 16) × 200 + 88 = 373 × 200 + 88 = 74600 + 88 = 74688
Умножим 126 на 1016.
С этой задачкой можно справиться несколькими способами. Во-первых, референтными
числами могут быть 100 и 1000, но тогда на пути к ответу придется решить сложный пример
на умножение. Если выбрать в качестве референтного числа 125, то одно из промежуточных
вычислений отнимет много времени: умножать на 125 неудобно. Что же делать? Ответ: поменять исходные числа местами.
126 × 1016 — это ведь то же, что и 1016 × 126.
Поэтому остановимся на втором варианте, 1016 × 126, и референтных числах 1000 и 125. Дополнительным референтным числом будет 125 / 1000 = 1/8.
Пускай вы теперь и умножаете четырехзначное число на трехзначное, к ответу вы все равно
придете, едва начав.
1016 × 126 = (126 + 16 × 1/8) × 1000 + 16 × 1 = (126 + 2) × 1000 + 16 = 128 × 1000 + 16 = 128016
нужно умножить 308 на 166
Здесь в качестве референтных чисел можно
выбрать 300 и 150. В скобках запишем первое референтное число, 300, и дополнительное ½ (150 / 300).
308 × 166 = (166 + 8 × ½) × 300 + 8 × 16 = 170 × 300 + 128 = 51128
умножить 88 на 343. Самыми удобными референтными числами здесь будут 100 и 350. Дополнительным, соответственно, 350 / 100 = 3½.
88 × 343 = (343 ‒ (12 × 3½)) × 100 + (‒12) × (‒7) = (343 ‒ 42) × 100 + 84 = 30184
Умножьте 35 на 575.
Здесь
наиболее подходящие референтные числа — 30 и 600. Дополнительным референтным числом тогда будет 600 / 30 = 20.
(575 + 5 × 20) × 30 + 5 × (‒25) = 675 × 30 ‒ 125 = 20250 ‒ 125 = 20125